JavaScriptで数列の和を計算する方法

問題

次のような級数の和を考えてみましょう。

$$seq(n,\:p)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\times\:p\:\times 4^{n-k}\:\times\frac{2n-k}{k}$$

この問題では、数値 n と p を引数として受け取り、seq(n, p) の計算結果を返すJavaScript関数を作成することが求められます。

この級数は以下の要素で構成されています。

• (-1)^k: kが偶数なら正、奇数なら負となる交互符号
• p: 固定の係数
• 4^n-k: 4の冪乗
• (2n-k)/k: kに応じて変化する倍率

解決策

forループを使って k = 0 から n まで各項を順に計算し、合計を累積していくのが最もシンプルなアプローチです。以下が実装例です。

const n = 12;
const p = 70;

const findSeqSum = (n, p) => {
    let sum = 0;
    for(let k = 0; k <= n; k++){
        // kが偶数なら +1、奇数なら -1（交互符号）
        const power = k % 2 === 0 ? 1 : -1;
        // 4の(n-k)乗
        const fourPower = Math.pow(4, (n - k));
        // 倍率（kが0の場合は1に置き換えてゼロ除算を回避）
        const multiplier = ((2 * n) - k) / (k || 1);
        const term = (power * p * fourPower * multiplier);
        sum += term;
    };
    return sum;
};

console.log(findSeqSum(n, p));

コードのポイント

• 交互符号の実現: 三項演算子 k % 2 === 0 ? 1 : -1 により、項ごとに正負を切り替えています。
• 冪乗の計算: Math.pow() を使って 4^n-k を求めています。ES2016以降ならべき乗演算子 4 ** (n - k) も使えます。
• ゼロ除算の回避: (k || 1) という書き方により、k が 0 のときは分母を 1 に置き換え、Infinity や NaN が発生するのを防いでいます。

出力

上記のコードをコンソールで実行すると、次の出力が得られます。

22131141616.42424

このように、ループによる逐次計算だけで、複雑な記号を含む級数の和も簡単に求めることができます。