【JavaScript】ある数が有限小数になるかどうかを判定する方法

はじめに：実数の分類

10進法において、すべての実数は大きく次の2つのグループに分けられます。

• 有理数
• 無理数

この記事では、このうち有理数に焦点を当てて解説していきます。

有理数とは何か

p/q（ただし q ≠ 0）という分数の形式で表すことができる数を「有理数」と呼びます。たとえば、14、4.6、3.33333... などがその代表例です。

そして有理数は、分子 p を分母 q で割った結果に基づいて、さらに次の2種類に分類できます。

• 有限小数：割り切れて小数部分が終わる数（例：0.25）
• 循環小数：同じ数字の並びが無限に繰り返される数（例：0.333...）

判定のための基本ルール

分数が有限小数になるか循環小数になるかを見分けるための、シンプルで強力な目安があります。

• 分母 q の素因数が 2 と 5 のみである場合、その分数は必ず有限小数になります。
• 分母 q の素因数に 2 と 5 以外の数が含まれる場合、その分数は循環小数になります。

これは、10進法の基数が 10 = 2 × 5 であることに由来しています。分母の素因数が 2 と 5 だけで構成されていれば、分母・分子に適切な数を掛けて分母を 10 のべき乗にできるため、必ず割り切れるのです。

JavaScriptでの実装

それでは、数値 q を引数として受け取り、その値が有限小数を生成できる場合は true、そうでない場合は false を返すJavaScript関数を実装してみましょう。

アルゴリズムの考え方は非常にシンプルです。q を 2 または 5 で繰り返し割り続け、最終的に 1 になれば有限小数です。一方、途中で 2 でも 5 でも割り切れなくなった場合は、それ以外の素因数が存在することを意味するため、循環小数であると判断できます。

const num = 1250;
const isTerminating = num => {
    while(num !== 1){
        if(num % 2 === 0){
            num /= 2;
        }else if(num % 5 === 0){
            num /= 5;
        }else{
            return false;
        }
    }
    return true;
};
console.log(isTerminating(num));

実行結果

上記のコードを実行すると、コンソールには次の出力が表示されます。

true

1250 = 2 × 5 × 5 × 5 × 5 と素因数分解でき、2 と 5 のみで構成されているため、正しく true が返されています。

まとめ

分母の素因数に注目することで、ある分数が有限小数になるか循環小数になるかを簡単に判定できます。今回紹介したような素因数を順に除去していくアプローチは、計算量も少なく実用的なので、ぜひ活用してみてください。