JavaScriptで10進数を階乗進数（ファクトリアルベース）に変換する方法

階乗進数（ファクトリアルベース）とは？

階乗進数（factorial number system）は、各桁の重みを「数の冪」ではなく「階乗」にとるユニークな記数法です。通常のN進法では桁の重みが一定ですが、階乗進数では桁ごとに取りうる値の範囲が異なるのが最大の特徴です。

• 最下位の桁（0番目）：常に 0（基数 0!）
• 下から2番目の桁：0 または 1（基数 1!）
• 下から3番目の桁：0・1・2 のいずれか（基数 2!）

一般化すると、下から n 番目の桁は必ず 0 ～ n の値をとり、その重みは n! になります。

問題：10進数と階乗進数を相互変換する

今回実装するのは、次の2つの関数です。

• decimalToFact：10進数を受け取り、階乗進数表現の文字列を返す
• factToDecimal：階乗進数表現の文字列を受け取り、10進数に復元する

具体例：463 は「341010」にエンコードされる

たとえば10進数の 463 は、次のように分解できるため「341010」と表されます。

463 = 3×5! + 4×4! + 1×3! + 0×2! + 1×1! + 0×0!

実際に計算すると、3×120 ＋ 4×24 ＋ 1×6 ＋ 0×2 ＋ 1×1 ＋ 0×1 ＝ 360＋96＋6＋1＝463 となり、元の数値と一致します。

JavaScriptによる実装コード

以下が実際のコードです。桁の値が10を超える場合に備え、数字とアルファベットを連結した凡例文字列（legend）を用意しています。

const num = 463;

// 10進数 → 階乗進数 へ変換する関数
const decimalToFact = (num = 1) => {
    const legend = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'.split('');
    let str = '0';
    let i = 2;
    while(num){
        str = legend[num%i] + str;
        num = Math.floor(num / i);
        i++;
    };
    return str;
};

// 階乗進数 → 10進数 へ戻す関数（ホーナー法）
const factToDecimal = (str = '') => {
    const legend = '0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ'.split('');
    const l = str.length;
    return str
    .split('')
    .reduce((a,e,i) => Number(a) * (l - i) + legend.indexOf(e), 0);
};

const fact = decimalToFact(num);
const dec = factToDecimal(fact);
console.log(fact);
console.log(dec);

コードのポイント

• decimalToFact：除算の基数を 2 から順に 1 ずつ増やしながら剰余を求め、それを文字列の左側に追加していくことで階乗進数の桁を組み立てます。初期値を '0' にしておくことで、常に 0 番目の桁（最下位）が 0 になる規則を満たします。
• factToDecimal：ホーナー法（Horner's method）を利用し、左の桁から順に「これまでの累計 × 次の基数 ＋ 現在の桁」を繰り返すことで、効率よく元の10進数を復元します。
• legend配列：10以上の値を持つ桁を A, B, C… として表現できるため、大きな数にも対応可能です。

出力結果

コンソールには次のように出力されます。

341010
463

463 をエンコードすると「341010」になり、それを再度デコードすると元の 463 に正しく戻っていることが確認できます。

まとめ

階乗進数は一見特殊な記数法ですが、「n番目の桁の基数が n＋1 になる」というシンプルな規則に従っています。剰余演算と除算を組み合わせたエンコード、ホーナー法によるデコードという定石を押さえれば、JavaScriptでも簡潔に相互変換を実装できます。順列生成や組み合わせのインデックス管理など、応用先も広いので覚えておくと役立ちます。