データ構造における二項分布の基礎とC++での実装例

二項分布とは

二項分布（Binomial Distribution）とは、N回のベルヌーイ試行においてn回の成功が得られる確率を表す離散型確率分布 P_p(n | N) です。

ここでいうベルヌーイ試行とは、結果が次の2通りしかない試行のことを指します。

• x = 1：成功（発生確率 p）
• x = 0：失敗（発生確率 q = 1 − p）

このとき、二項分布は以下の式で表されます。

$$P_{p}\lgroup n\:\arrowvert\ N\rgroup=\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right) p^{n}\lgroup1-p\rgroup^{N-n}$$

つまり、各試行が互いに独立で、成功確率 p が一定である場合、「N回中ちょうどn回成功する確率」は、組み合わせの数（二項係数）と成功・失敗の確率の積として求められます。

C++による二項分布のサンプルコード

C++11以降では標準ライブラリの <random> を使うことで、二項分布に従う乱数を簡単に生成できます。以下は「9回の試行で成功率50%」という設定で10,000回サンプリングし、その度数分布をヒストグラムとして表示する例です。

#include <iostream>
#include <random>
using namespace std;

int main(){
    const int nrolls = 10000;  // 試行回数（サンプリング回数）
    const int nstars = 100;    // 分布させるアスタリスクの最大数

    default_random_engine generator;
    binomial_distribution<int> distribution(9,0.5);

    int p[10]={};

    for (int i=0; i<nrolls; ++i) {
        int number = distribution(generator);
        p[number]++;
    }

    cout << "binomial_distribution (9,0.5):" << endl;
    for (int i=0; i<10; ++i)
        cout << i << ": " << string(p[i]*nstars/nrolls,'*') << endl;
}

コードのポイントは以下の通りです。

• binomial_distribution<int> distribution(9,0.5)：試行回数 N = 9、成功確率 p = 0.5 の二項分布を生成
• 10,000回乱数を発生させ、得られた値（0〜9）ごとの出現回数を配列 p に集計
• 出現頻度に応じて * を並べ、ヒストグラムとして可視化

実行結果

0:
1: *
2: ******
3: ***************
4: *************************
5: ************************
6: ****************
7: *******
8: *
9:

実行結果の解説

出力を見ると、分布の山が4と5付近に集中していることが分かります。これは理論的にも妥当な結果です。二項分布の平均（期待値）は E[X] = N × p = 9 × 0.5 = 4.5 となるため、最も出現しやすい値が4〜5のあたりに現れます。

また、0や9といった両端の値がほとんど出現しないのも特徴的です。成功率50%の試行を9回行って「9回すべて成功する」あるいは「9回すべて失敗する」確率は (0.5)⁹ ≒ 0.195% と非常に小さいためです。

このように、二項分布はコイントスのような「成功か失敗か」の繰り返し試行をモデル化する際に非常に有用であり、統計解析だけでなくシミュレーションやアルゴリズムの設計にも広く活用されています。