データ構造におけるベルヌーイ分布とは？定義・数式・C++実装例をわかりやすく解説

ベルヌーイ分布とは

ベルヌーイ分布（Bernoulli Distribution）は、試行の結果が「成功」と「失敗」の2通りしかない離散確率分布です。結果は x = 1（成功）と x = 0（失敗）という値で表されます。

成功が起こる確率を p、失敗が起こる確率を q とすると、両者は互いに排他的な事象であるため、次の関係が成り立ちます。

q = 1 − p

確率質量関数

以上より、ベルヌーイ分布の確率質量関数は次のように定義されます。

$$P(x)=\begin{cases}1-p \quad & (x = 0)\\p \quad & (x = 1)\end{cases}$$

この式は、次のような1つの式にまとめて書くこともできます。

$$P(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}$$

期待値と分散

ベルヌーイ分布の主な統計的性質は以下の通りです。

• 期待値：E[X] = p
• 分散：Var(X) = p(1 − p)

コイン投げの表裏、機械の正常・故障の判定、広告クリックの有無など、「2択の結果」で表現できるあらゆる事象のモデル化に利用されています。

C++による実装例

C++11 以降では、<random> ヘッダーの bernoulli_distribution クラスを使うことで、ベルヌーイ分布に従う乱数を簡単に生成できます。以下は、成功率 70%（p = 0.7）の試行を 10,000 回繰り返し、true と false の出現回数を集計するサンプルプログラムです。

#include <iostream>
#include <random>
using namespace std;

int main(){
    const int nrolls = 10000;
    default_random_engine generator;
    bernoulli_distribution distribution(0.7);

    int count = 0; // true の回数をカウント
    for (int i = 0; i < nrolls; ++i)
        if (distribution(generator))
            count++;

    cout << "bernoulli_distribution (0.7) x 10000:" << endl;
    cout << "true: " << count << endl;
    cout << "false: " << nrolls - count << endl;
}

実行結果

bernoulli_distribution (0.7) x 10000:
true: 7024
false: 2976

10,000 回の試行のうち、true が 7,024 回、false が 2,976 回となりました。設定した確率 p = 0.7 に従い、約7割が true となる結果が得られており、乱数が正しくベルヌーイ分布に従っていることが確認できます。