確率論におけるブールの不等式（和の上界）とは？定義と具体例をわかりやすく解説

ブールの不等式とは

確率論におけるブールの不等式（Boole's inequality）は、「和の上界（union bound）」とも呼ばれる重要な定理です。有限個または可算個の事象の集合に対して、それらのうち少なくとも1つの事象が起こる確率は、個々の事象の確率の総和を超えないことを示しています。

確率論の基礎

確率論とは、ランダムな事象の起こる確率を研究する数学の重要な分野です。確率とは、実験の結果として現れる事象が起こる「起こりやすさ」を測る尺度のことです。

具体例：コイン投げ

例えば、コインを投げる行為は「実験」、表または裏が出ることは「事象」と呼ばれます。理想的なコインであれば、表が出る確率も裏が出る確率もそれぞれ1/2、つまり50%ずつとなります。

ブールの不等式の役割

確率論には多くの重要な概念がありますが、ブールの不等式はその一つです。和の上界（union bound）は、いくつかの事象の和集合の確率がある値より小さいことを示したい場合に特に役立ちます。

まず、任意の2つの事象 C と D について、次の関係が成り立ちます。

P(C ∪ D) = P(C) + P(D) − P(C ∩ D) ≤ P(C) + P(D)

これは、和集合の確率から積集合の確率 P(C ∩ D) を差し引いているため、和集合の確率が個々の確率の和を超えないことを意味します。

3つの事象の場合

同様に、3つの事象 C、D、E については、次のように表すことができます。

P(C ∪ D ∪ E) = P((C ∪ D) ∪ E) ≤ P(C ∪ D) + P(E) ≤ P(C) + P(D) + P(E)

このように、事象の数を順に増やしていくことで、任意の有限個の事象に対してブールの不等式が成り立つことが示せます。さらに、数学的帰納法を用いれば、可算個の事象に対しても同様の不等式へ拡張することが可能です。