四次方程式の根の和と積の絶対差を求める方法

この記事では、四次方程式における「根の和」と「根の積」の絶対差を求める方法について解説します。

四次方程式と解と係数の関係

四次方程式は一般に次のような形で表されます。

𝑎𝑥⁴＋𝑏𝑥³＋𝑐𝑥²＋𝑑𝑥＋𝑒＝0

方程式を実際に解いて根を求め、その後で和と積を計算する方法もありますが、四次方程式の求解は複雑で時間がかかるため、あまり効率的とは言えません。

そこで役立つのが「解と係数の関係（ヴィエタの定理）」です。これを使えば、方程式を解かずとも根の和と積は係数から直接求められます。

• 根の和 ＝ −𝑏∕𝑎
• 根の積 ＝ 𝑒∕𝑎

したがって、求めるべき値は次の式だけで表せます。

∣−𝑏∕𝑎 − 𝑒∕𝑎∣

なお、この計算には係数 𝑐 と 𝑑 は不要である点に注目してください。必要なのは 𝑎・𝑏・𝑒 の3つだけです。

アルゴリズム

rootSumProdDiff(a, b, c, d, e)

begin
    sum := -b/a
    prod := e/a
    return |sum - prod|
end

C++による実装例

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double rootSumProdDiff(double a, double b, double c, double d, double e){
    double sum = double(-b/a);  // 根の和
    double prod = double(e/a);  // 根の積
    return abs(sum - prod);
}
main() {
    double a,b,c,d,e;
    cout << "Enter a, b, c, d, e for equation ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e:";
    cin >> a >> b >> c >> d >> e;
    cout << "Difference between sum and product of roots are: " << rootSumProdDiff(a, b, c, d, e);
}

実行結果

Enter a, b, c, d, e for equation ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e:8 4 6 4 1
Difference between sum and product of roots are: 0.625

計算の検証

入力例 𝑎=8、𝑏=4、𝑒=1 の場合を手計算で確認してみましょう。

• 根の和 ＝ −4∕8 ＝ −0.5
• 根の積 ＝ 1∕8 ＝ 0.125

絶対差は ∣−0.5 − 0.125∣ ＝ ∣−0.625∣ ＝ 0.625 となり、プログラムの出力と一致します。

まとめ

四次方程式の根の和と積の絶対差は、ヴィエタの定理を利用すれば O(1) の定数時間で求められます。方程式を解く必要がなく、実装も非常にシンプルなので、競技プログラミングや数値計算の場面でも有用なテクニックです。