行列が交代行列（歪対称行列）かどうかを判定するC++プログラムの解説

正方行列Aが、すべてのiとjについて a_ij = −a_ji を満たすとき、行列Aは「交代行列（歪対称行列）」と呼ばれます。言い換えれば、行列Aの転置行列が元の行列のマイナス倍と等しい場合（A^T = −A）、その行列は交代行列であるといえます。

なお、交代行列の主対角成分は必ずすべて0になるという特徴があります。

交代行列の例

具体的な行列を見てみましょう。

A= |0 -5 4|
   |5 0 -1|
   |-4 1 0|

この行列が交代行列である理由は、すべてのiとjについて a_ij = −a_ji が成り立つからです。例えば、a₁₂ = −5、a₂₁ = 5 であり、a₁₂ = −a₂₁ という関係が成立しています。他の成分についても同様にこの条件が満たされています。

さらに、行列Aの転置行列がAのマイナス倍と一致すること（A^T = −A）も確認できます。

AT= |0 5 -4|
    |-5 0 1|
    |4 -1 0|
そして
A= |0 -5 4|
   |5 0 -1|
   |-4 1 0|

このように A^T = −A が成り立っているため、Aが交代行列であることが明確にわかります。

入力:
行数と列数を入力してください: 2 2
行列の要素を入力してください: 10 20 20 10
出力:
この行列は対称行列です。
10 20
20 10

判定ロジックの解説

行列がその転置行列と等しい場合、その行列は対称行列です。

そうでない場合に、転置行列が元の行列のマイナス倍と等しければ、その行列は交代行列です。どちらの条件も満たさない場合は、対称行列でも交代行列でもありません。プログラムは判定結果に応じて適切なメッセージを出力します。

対称性・交代性の確認手順

• ユーザーに対して、行列の行数と列数の入力を求めます。

• 行列の各要素を入力してもらい、配列「A」に格納します。変数「x」と「y」は0で初期化されます。

• 行列が転置行列と等しくない場合、一時変数「x」に1を代入します。

• それ以外の場合で、行列のマイナス倍が転置行列と等しいときは、一時変数「y」に1を代入します。

• xが0であれば行列は対称行列であり、yが1であれば行列は交代行列です。

• いずれの条件も満たさない場合、その行列は対称行列でも交代行列でもありません。

• 最後に、判定結果を出力します。

サンプルコード

#include<iostream>
using namespace std;
int main () {
   int A[10][10], i, j, m, n, x = 0, y = 0;
   cout << "Enter the number of rows and columns : ";
   cin >> m >> n;
   cout << "Enter the matrix elements : ";
   for (i = 0; i < m; i++)
      for (j = 0; j < n; j++)
   cin >> A[i][j];
   for (i = 0; i < m; i++) {
      for( j = 0; j < n; j++) {
         if (A[i][j] != A[j][i])
            x = 1;
         else if (A[i][j] == -A[j][i])
            y = 1;
      }
   }
   if (x == 0)
      cout << "The matrix is symmetric.\n ";
   else if (y == 1)
      cout << "The matrix is skew symmetric.\n ";
   else
      cout << "It is neither symmetric nor skew-symmetric.\n ";
   for (i = 0; i < m; i++) {
      for (j = 0; j < n; j++)
         cout << A[i][j] << " ";
      cout << "\n ";
   }
   return 0;
}