【C++】0行目の任意のセルから始まり、(N-1)行目の任意のセルで終わる最大パス合計の求め方

本記事では、行列の0行目（最上行）の任意のセルから出発し、(N-1)行目（最下行）の任意のセルで終了する経路の中で、通過したセルの値の合計が最大になる「最大パス合計」を求めるプログラムについて解説します。

問題の概要

N×N の行列が与えられます。現在いるセル (i, j) からは、次の3種類の移動のみが許可されています。

• (i+1, j) … 真下へ移動
• (i+1, j-1) … 左下へ移動
• (i+1, j+1) … 右下へ移動

つまり、必ず1行ずつ下へ進みながら、左右に最大1列だけずれて移動できるという制約があります。この条件のもとで、出発点と到達点を自由に選び、経路上のセルの値の総和を最大化することが目的です。

解法のアプローチ（動的計画法）

この問題は動的計画法（DP）を用いることで効率的に解けます。考え方は次のとおりです。

1. dp テーブルを用意し、0行目の各セルの値をそのまま初期値として設定します。
2. i 行目のセル (i, j) に到達できるのは、直前の行の (i-1, j-1)、(i-1, j)、(i-1, j+1) の3セルです。これらの dp 値の最大値に現在のセルの値を加えたものが dp[i][j] となります。
3. すべての行の計算が終わったら、最終行（(N-1)行目）の dp 値の最大値が答えとなります。

計算量は時間・空間ともに O(N²) であり、全経路を網羅的に探索するよりはるかに効率的です。

実装例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 4
// 最大パス合計を求める関数
int MaximumPath(int Mat[][N]) {
   int result = 0 ;
   int dp[N][N+2];
   memset(dp, 0, sizeof(dp));
   // 0行目の値をそのまま初期化
   for (int i = 0 ; i < N ; i++)
      dp[0][i+1] = Mat[0][i];
   // 上の行の3方向から最大値を選んで累積
   for (int i = 1 ; i < N ; i++)
      for (int j = 1 ; j <= N ; j++)
         dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], max(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])) + Mat[i][j-1] ;
   // 最終行の最大値が答え
   for (int i=0; i<=N; i++)
      result = max(result, dp[N-1][i]);
   return result ;
}
int main() {
   int Mat[4][4] = {
      { 4, 2 , 3 , 4 },
      { 2 , 9 , 1 , 10},
      { 15, 1 , 3 , 0 },
      { 16 ,92, 41, 44 }
   };
   cout << MaximumPath ( Mat ) <<endl ;
   return 0;
}

出力結果

120

この例では、例えば「4 → 10 → 15 → 92」といった経路ではなく、DPによって選ばれた最適な経路をたどることで合計値 120 が得られます。dp テーブルには各行の時点での「そこまでの最大合計」が記録されていくため、最終行を見るだけで全体の最大値が分かる仕組みになっています。