C++でモジュロp（pが4 * i + 3の形式の場合）の下で平方根を見つけます

この問題では、2つの値nと素数pが与えられます。私たちのタスクは、モジュロpの下で平方根を見つけることです（pが4 * i + 3の形式の場合）。ここで、pは（4 * i + 3）の形式です。つまり、i> 1でpが素数の場合、p％4=3です。

ここにいくつかの数字があります、7、11、19、23、31 ...

問題を理解するために例を見てみましょう

Input : n = 3, p = 7
Output :

ソリューションアプローチ

この問題の簡単な解決策は、ループを使用することです。 2から（p-1）にループします。そして、すべての値について、その平方根がモジュロpがnである平方根であるかどうかを確認します。

例

ソリューションの動作を説明するプログラム

#include <iostream>
using namespace std;
void findSquareRootMod(int n, int p) {
   n = n % p;
   for (int i = 2; i < p; i++) {
      if ((i * i) % p == n) {
         cout<<"Square root under modulo is "<<i;
         return;
      }
   }
   cout<<"Square root doesn't exist";
}
int main(){
   int p = 11;
   int n = 3;
   findSquareRootMod(n, p);
   return 0;
}

出力

Square root under modulo is 5

もう1つの方法は、数式を直接使用することです。

pが（4 * i + 3）の形式であり、平方根が存在する場合は、$ +/- n ^ {（p + 1）/ 4} $

例

ソリューションの動作を説明するプログラム

#include <iostream>
using namespace std;
int calcPowerVal(int x, int y, int p) {
   int res = 1;
   x = x % p;
   while (y > 0) {
      if (y & 1)
      res = (res * x) % p;
      y /= 2;
      x = (x * x) % p;
   }
   return res;
}
void squareRoot(int n, int p) {
   if (p % 4 != 3) {
      cout << "Invalid Input";
      return;
   }
   n = n % p;
   int sr = calcPowerVal(n, (p + 1) / 4, p);
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout<<"Square root under modulo is "<<sr;
      return;
   }
   sr = p - sr;
   if ((sr * sr) % p == n) {
      cout << "Square root is "<<sr;
      return;
   }
   cout<<"Square root doesn't exist ";
}
int main() {
   int p = 11;
   int n = 4;
   squareRoot(n, p);
   return 0;
}

出力

Square root under modulo is 9