Pythonで指定した方向余弦から直線を描けるかどうかを判定する方法

3次元空間において、3つの方向余弦 l、m、n が与えられたとします。このとき、これらの方向余弦を持つ直線が実際に描けるかどうかを判定する方法を解説します。

例えば、入力が l = 0.42426、m = 0.56568、n = 0.7071 の場合、出力は True になります。これは、ベクトル {3, 4, 5} の方向余弦に一致するためです。

方向余弦の基本ルール

方向余弦とは、直線（またはベクトル）と各座標軸がなす角の余弦のことであり、以下の性質を持ちます。

• l = cos(a)：a は直線と x 軸のなす角
• m = cos(b)：b は直線と y 軸のなす角
• n = cos(c)：c は直線と z 軸のなす角
• そして最も重要な条件として、l² + m² + n² = 1 が必ず成り立つ

判定アルゴリズム

上記の性質を利用すると、以下の手順で判定できます。

• angle := l × l + m × m + n × n を計算する
• angle を小数点第8位で四捨五入する
• |1 − angle| < 0.0001 を満たす場合は True を返す
• それ以外の場合は False を返す

誤差の許容範囲（0.0001）を設けているのは、浮動小数点演算による微小な丸め誤差を吸収するためです。厳密に angle == 1 と比較してしまうと、数値誤差により正しい方向余弦でも False と判定される可能性があります。

実装例

以下はPythonでの実装例です。

def solve(l, m, n) :
    angle = l * l + m * m + n * n
    angle = round(angle, 8)
    if abs(1 - angle) < 0.0001:
        return True
    return False

l = 0.42426
m = 0.56568
n = 0.7071
print (solve(l, m, n))

入力

0.42426, 0.56568, 0.7071

出力

True

このように、与えられた3つの方向余弦の二乗和がほぼ1に等しければ、その値で直線を描くことが可能であると判定できます。