Pythonでライブラリを使わずにe^xを効率的に計算する方法

数値 x が与えられたとき、math.exp() などのライブラリ関数を使用せずに、e^x を効率的に計算する方法を解説します。

e^x の計算原理：テイラー級数展開

e^x はテイラー級数（マクローリン級数）を用いて、次のように無限級数として表すことができます。

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$$

例えば、入力が x = 5 の場合、出力は 148.4131 となります。これは e⁵ = 1 + 5 + (5²/2!) + (5³/3!) + ... = 148.4131... と計算されるためです。

解法のアプローチ

この問題を解くには、以下の手順に従います。

• fact := 1（階乗の値を保持する変数）
• res := 1（結果を保持する変数）
• n := 20（精度を確保するために十分大きな反復回数）
• nume := x（分子の値を保持する変数）
• i を 1 から n までループ処理：
  • res := res + nume / fact
  • nume := nume × x
  • fact := fact × (i+1)
• res を返す

なぜ効率的なのか？

このアルゴリズムのポイントは、各項をゼロから計算しないことです。k 番目の項は x^k/k! ですが、これは直前の項に x を掛けて k で割るだけで求められます。つまり、べき乗も階乗も毎回最初から計算し直す必要がなく、時間計算量 O(n) で近似値を得られます。

実装例

理解を深めるために、以下のPythonコードを見てみましょう。

def solve(x):
    fact = 1
    res = 1
    n = 20
    nume = x

    for i in range(1, n):
        res += nume / fact
        nume = nume * x
        fact = fact * (i + 1)
    return res

x = 5
print(solve(x))

入力

5

出力

148.4131591025766

実際の e⁵ の値は 148.41315910257660... であり、わずか20回の反復で非常に高い精度の結果が得られていることがわかります。反復回数 n を増やせば、さらに精度を向上させることも可能です。