データ構造における負の二項分布とは？定義・数式・C++実装例を解説

負の二項分布（Negative Binomial Distribution）は、負の二項離散分布に従う整数値の乱数を生成する確率分布です。この分布は「パスカル分布（Pascal's Distribution）」としても知られています。

負の二項分布は、「成功確率 p の試行を繰り返し、k 回の成功を得るまでに何回の失敗（i 回）が起こるか」という確率をモデル化したものです。数式では次のように表されます。

$$P\lgroup i\arrowvert k,p\rgroup=\lgroup \frac{k+i-1}{i}\rgroup p^{k}\lgroup 1-p\rgroup^{i}$$

主なパラメータ

• k：目標とする成功回数
• p：1回の試行における成功確率（0 < p ≤ 1）
• i：k 回成功するまでに発生した失敗回数

この分布の平均は k(1−p)/p、分散は k(1−p)/p² となり、p が小さいほど失敗回数のばらつきが大きくなるという特徴があります。

C++での実装例

以下は、C++11 以降で利用可能な標準ライブラリ <random> の negative_binomial_distribution クラスを使用し、10,000 回の乱数を生成してその度数分布をヒストグラムとして表示するサンプルコードです。

#include <iostream>
#include <random>
using namespace std;

int main(){
    const int nrolls = 10000; // 乱数を生成する回数
    const int nstars = 100;   // 表示するアスタリスクの最大数
    default_random_engine generator;
    negative_binomial_distribution<int> distribution(3,0.5);

    int p[10]={};
    for (int i=0; i<nrolls; ++i) {
        int number = distribution(generator);
        if (number<10)
            p[number]++;
    }

    cout << "negative_binomial_distribution (3,0.5):" << endl;
    for (int i=0; i<10; ++i)
        cout << i << ": " << string(p[i]*nstars/nrolls,'*') << endl;
}

実行結果

0: ************
1: *******************
2: *****************
3: ****************
4: ***********
5: *******
6: *****
7: ***
8: **
9: *

出力結果を見ると、失敗回数が小さい値ほど出現頻度が高く、値が大きくなるにつれて頻度が徐々に減少していることがわかります。これはパラメータ k=3、p=0.5 の場合の負の二項分布の典型的な形状であり、右に裾を引いた歪んだ分布になっています。

まとめ

負の二項分布は、所定の成功回数に達するまでの失敗回数を扱う離散確率分布です。C++ の <random> ライブラリを使えば、数行のコードで簡単に乱数生成へ組み込むことができます。また、ポアソン分布よりも分散が大きい（過分散な）カウントデータのモデリングや、各種シミュレーションにおいても幅広く活用されています。