情報セキュリティでグループ、リング、フィールドを使用するのはなぜですか？

群環、環、および体は、抽象代数または現代代数と呼ばれる数学の分野の重要な要素です。抽象代数では、その要素の集合に関係し、代数的に動作できます。つまり、おそらく複数の方法でセットの2つの要素を組み合わせることができ、セットの3番目の要素を取得できます。

グループ

グループ（G）は{G、∙}で示されます。これは、4つの特性を満たす二項演算'∙'を持つ要素のグループです。グループのプロパティは次のとおりです-

• 閉鎖 − aとbがGの要素である場合、したがってc =a∙bもセットGの要素です。これは、セット内の任意の2つの要素に対する演算を使用した結果がセット内の別の要素であることを定義できます。

• 結合性 − a、b、およびcがGの要素である場合、したがって（a∙b）∙c =a∙（b∙c）は、2つ以上の要素に対して操作を使用できる順序が実質的でないことを意味します。

• アイデンティティ − G内のすべてのaについて、e∙a=a∙e=aを含むG内の要素eが発生します。

• 逆 − Gの各aについて、aの逆関数として知られる要素a'が発生し、a∙a'=a'∙a=eとなります。

グループは、次の4つのプロパティに加えて、可換性の追加のプロパティを満たしている場合、アーベル群です。

可換性 − Gのすべてのaとbについて、a∙b=b∙aがあります。

リング −リングRは{R、+、x}で示されます。これは、Rのすべてのa、b、cを含む、加算と乗算として知られる2つの二項演算を持つ要素のセットであり、次の公理が保持されます-

• Rは、加算に関するアーベル群であり、RはプロパティA1からA5を満たします。加法群の方法では、アイデンティティ要素を0として、aの逆を-aとして示します。

• （M1）：乗算中のクロージャ −とbがRに属する場合、abもRに含まれます。

• （M2）：乗算の結合性 − Rのすべてのa、b、cに対してa（bc）=（ab）c。

• （M3）：分配法則 −

  a（b + c）=Rのすべてのa、b、cに対してab + ac

  （a + b）c =ac + bc（Rのすべてのa、b、c）

• （M4）：乗算の可換 − Rのすべてのa、bに対してab=ba。

• （M5）：乗法単位元 −Rのすべてのaに対してa1=1aを含む要素1がRにあります。

• （M6）：ゼロ因子はありません − Rのa、b、およびab =0の場合、したがってa=0またはb=0です。

フィールド −フィールドFは{F、+、x}で示されます。これは、加算と乗算として知られる2つの二項演算を備えた要素のセットであり、Fのすべてのa、b、cについて、次の公理が保持されます-

• F1は、Fが公理A1からA5およびM1からM6を満たす整数領域です。

• （M7）：乗算の逆数 − 0を除くFの各aには、要素a ^-1 があります。 Fでaa ^-1 =（a ^-1 ）a=1。