C++で2つの文字列を一致させるための最小削除操作数を求めるアルゴリズム

2つの単語 w1 と w2 が与えられたとき、各ステップでどちらかの文字列から1文字を削除できるものとして、w1 と w2 を同一にするまでに必要な最小ステップ数を求める問題を考えてみましょう。

例えば、入力が「sea」と「eat」の場合、出力は 2 になります。これは、w1 から「s」を削除して「ea」にし、さらに w2 である「eat」から「t」を削除することで、両方とも「ea」になり一致するからです。

解決のアプローチ

この問題は動的計画法(DP)を用いて効率的に解くことができます。以下の手順に従います。

• n := s1 の長さ、m := s2 の長さとします
• s1 と s2 の先頭にそれぞれ空白を1つ追加し、インデックスを1始まりに調整します
• (n + 1) × (m + 1) のサイズを持つDPテーブルを作成します
• i = 1 から m まで:dp[0, i] := dp[0, i - 1] + 1(空文字列との比較では全文字を削除する必要がある)
• i = 1 から n まで:dp[i, 0] := dp[i - 1, 0] + 1
• i = 1 から n、j = 1 から m までの二重ループで以下を処理します:
  • s1[i] == s2[j] の場合:dp[i, j] := dp[i - 1, j - 1](文字を削除する必要がない)
  • それ以外の場合:dp[i, j] := min(dp[i - 1, j] + 1, dp[i, j - 1] + 1)(どちらかの側から1文字削除する)
• 最後に dp[n, m] を返します

C++による実装例

理解を深めるために、以下の実装を見てみましょう。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class Solution {
public:
   int minDistance(string s1, string s2) {
      int n = s1.size();
      int m = s2.size();
      s1 = " " + s1;
      s2 = " " + s2;
      vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
      for(int i = 1; i <= m; i++){
         dp[0][i] = dp[0][i - 1] + 1;
      }
      for(int i = 1; i <= n; i++){
         dp[i][0] = dp[i - 1][0] + 1;
      }
      for(int i = 1; i <= n; i++){
         for(int j = 1; j <= m; j++){
            if(s1[i] == s2[j]){
               dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }
            else{
               dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
            }
         }
      }
      return dp[n][m];
   }
};
main(){
   Solution ob;
   cout << (ob.minDistance("sea", "eat"));
}

入力

"sea"
"eat"

出力

2

このアルゴリズムの時間計算量は O(n × m)、空間計算量も O(n × m) となります。共通部分列(LCS)の考え方を応用した手法であり、「sea」と「eat」の場合、最長共通部分列は「ea」(長さ2)なので、削除が必要な文字数は (3 - 2) + (3 - 2) = 2 となります。