C++でN番目の五角錐数を求める方法を解説

五角錐数とは

五角錐数（Pentagonal Pyramidal Number）とは、五角形を底面として積み上げたピラミッドに含まれる物体の総数を表す数です。まず、下図のようにいくつかの五角数を確認してみましょう。

1からNまでの五角数の総和は、N番目の五角錐数と一致します。この記事では、N番目の五角錐数を求める方法について詳しく解説します。

入力：N = 4
出力：40
説明：最初の4つの五角数 1, 5, 12, 22 の合計は 40 です。

入力：N = 6
出力：126
説明：最初の6つの五角数 1, 5, 12, 22, 35, 51 の合計は 126 です。

解法へのアプローチ

シンプルなアプローチ

上記の例から、最も基本的なアプローチとして「1からNまで順番に走査し、各五角数を加算していく」という方法が思い浮かびます。i番目の五角数は次の式で求められます。

五角数 ＝ (3 × n² − n) / 2

例えば n = 2 の場合、五角数 ＝ (3 × 2² − 2) / 2 ＝ 5 となります。

C++での実装例（シンプルなアプローチ）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main () {
    int N = 6, SUM = 0;

    // 1からNまで走査する
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        // i番目の五角数を計算し、SUMに加算する
        SUM = SUM + (3 * i * i - i) / 2;
    }
    cout << "Nth Pentagonal Pyramidal Number: " << SUM << endl;
    return 0;
}

出力

Nth Pentagonal Pyramidal Number: 126

効率的なアプローチ

先ほどの方法ではループ処理が必要でしたが、N番目の五角錐数には次の公式が成り立つため、これを利用することでプログラムを大幅に効率化できます。

五角錐数 ＝ n² × (n + 1) / 2

この公式を使えば、ループなしで時間計算量 O(1) で答えを求められます。

C++での実装例（効率的なアプローチ）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int N = 6, result;
    // 公式を使ってN番目の五角錐数を計算する
    result = N * N * (N + 1) / 2;
    cout << "Nth Pentagonal Pyramidal Number: " << result << endl;
    return 0;
}

出力

Nth Pentagonal Pyramidal Number: 126

まとめ

この記事では、N番目の五角錐数を求める問題について解説しました。「1からNまでの五角数を順に加算する方法」と「公式 n²(n+1)/2 を使う方法」の2つのアプローチを紹介し、それぞれのC++プログラムを実装しました。特に大きなNを扱う場合は、公式を使った方法が圧倒的に効率的です。なお、今回紹介したロジックはC、Java、Pythonなど他のプログラミング言語でも同様に実装できますので、ぜひ試してみてください。