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Pythonで解くドミノ敷き詰め問題：n×mボードに置けるドミノの最大数

問題概要

縦 n × 横 m のサイズを持つボードと、無限に用意できる 1 × 2 のドミノ牌があるとします。このとき、ドミノ同士が重ならないこと、そしてすべてのドミノがボード内に完全に収まることという条件のもとで、ボードに置けるドミノの最大数を求めるのがこの問題です。

例えば、入力が n = 5、m = 3 の場合、出力は 7 になります。

解き方のアプローチ

この問題は、一見複雑に思えますが、実はとてもシンプルな計算で解くことができます。手順は以下の通りです。

  • t := n * m（ボードのマス目の総数を求める）
  • (t / 2) の商（小数点以下は切り捨て）を返す

1枚のドミノがちょうど2マスを占めるため、ボード全体のマス数を2で割ればよいのです。マスの総数が奇数の場合、1マス余りますが、そのマスにはドミノを置けないため、切り捨てた値が答えになります。

実装例

以下のコードを見ると、より理解しやすいでしょう。

class Solution:
    def solve(self, n, m):
        t = n * m
        return t // 2
ob = Solution()
print(ob.solve(5,3))

入力

5,3

出力

7

計算量について

このアルゴリズムの時間計算量は O(1)、空間計算量も O(1) です。掛け算と整数除算だけで完結するため、ボードのサイズがどれほど大きくなっても一定の速度で計算できます。5 × 3 = 15 マスに対して 15 // 2 = 7 枚のドミノが置けることが確認できました。

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