C・C++・Javaにおける浮動小数点演算と結合法則 ― 計算順序で結果が変わる理由

C、C++、Javaなどの言語では、浮動小数点数を使ったさまざまな数学演算を行います。本記事では、浮動小数点数が数学における「結合法則」（(a + b) + c = a + (b + c)）に従うのかどうかを、実際のコードで検証します。

結論から言うと、答えは「NO」です。場合によっては、浮動小数点数は結合法則を満たしません。以下で具体的な例を見ていきましょう。

サンプルコード

#include<iostream>
using namespace std;
main() {
    float x = -500000000;
    float y = 500000000;
    float z = 1;
    cout << "x + (y + z) is: " << x + (y + z) << endl;
    cout << "(x + y) + z is " << (x + y) + z << endl;
}

実行結果

x + (y + z) is: 0
(x + y) + z is 1

なぜ結果が異なるのか？

数学的に考えれば、どちらの式も常に「1」になるはずです。しかし、実際の実行結果は異なっています。この原因は、浮動小数点数特有の「丸め誤差（ラウンドオフ）」にあります。

最初の式「x + (y + z)」では、まず括弧内の「500000000 + 1」が計算されます。ところが、float型（IEEE 754 単精度浮動小数点数）の有効数字は約7桁程度しかありません。5億という大きな値に1を足しても、その差は表現可能な精度を超えてしまうため、結果は丸められて再び「500000000」に戻ってしまいます。その後、「-500000000」を加えると、最終的な結果は「0」になるのです。

一方、2番目の式「(x + y) + z」では、まず「(-500000000 + 500000000) = 0」が計算され、その後に1を加えます。したがって、最終結果は正しく「1」となります。

整数型の場合との比較

同じ計算を int などの整数型で行えば、丸め誤差が発生しないため、計算順序に関係なく必ず同じ結果「1」が得られます。

まとめ

浮動小数点演算では、加算の順序を入れ替えるだけで結果が変わることがあります。これはIEEE 754規格に基づく有限精度表現に起因する、コンピュータ上の数値計算における本質的な特性です。金額計算や高精度が求められる処理では、演算の順序に十分注意するとともに、必要に応じて double 型などより精度の高い型や、多倍長演算ライブラリの活用を検討しましょう。