C++で連結リストをO(n log n)時間・定数空間でソートする方法

連結リストが与えられたとき、これをO(n log n)の時間計算量・定数空間計算量で並べ替えることを考えます。たとえば、リストが [4,2,1,3] である場合、出力は [1,2,3,4] となります。

この問題はマージソートの考え方を応用することで効率的に解決できます。連結リストはランダムアクセスができないためクイックソートやヒープソートは不向きですが、マージソートならリスト構造に適した形で、余分な配列領域を使わずに実装できます。

アルゴリズムの手順

まず、2つのソート済みリストを昇順に統合するための補助メソッド merge() を定義します。このメソッドは2つのリスト l1 と l2 を受け取り、値を比較しながら1つの整列済みリストにまとめます。

続いて、sortList() メソッドは以下のように動作します。

• head が NULL、または head の next が NULL の場合は head をそのまま返します（要素が0個または1個のため、すでにソート済みとみなせます）。
• slow / fast ポインタのテクニックを使ってリストの中央位置を求めます。slow := head、fast := head、prev := NULL と初期化します。
• fast が NULL でなく、かつ fast の next も NULL でない限り、以下を繰り返します。
  • prev := slow
  • slow := slow の next
  • fast := fast の next の next
• ループ終了後、prev の next を NULL に設定して、リストを前半と後半の2つに分割します。
• l1 := sortList(head)、l2 := sortList(slow) として、それぞれの半分を再帰的にソートします。
• 最後に merge(l1, l2) の結果を返します。

slow ポインタは1ステップずつ、fast ポインタは2ステップずつ進むため、fast が末尾に到達したとき slow はちょうどリストの中央付近にあります。これにより、配列のようにインデックスアクセスできない連結リストでも、効率よく二分割できます。

実装例

理解を深めるために、以下のC++による実装を見てみましょう。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class ListNode{
   public:
   int val;
   ListNode *next;
   ListNode(int data){
      val = data;
      next = NULL;
   }
};
ListNode *make_list(vector<int> v){
   ListNode *head = new ListNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      ListNode *ptr = head;
      while(ptr->next != NULL){
         ptr = ptr->next;
      }
      ptr->next = new ListNode(v[i]);
   }
   return head;
}
void print_list(ListNode *head){
   ListNode *ptr = head;
   cout << "[";
   while(ptr){
      cout << ptr->val << ", ";
      ptr = ptr->next;
   }
   cout << "]" << endl;
}
class Solution {
   public:
   ListNode* sortList(ListNode* head) {
      if(!head || !head->next)return head;
      ListNode *slow = head, *fast = head, *prev = NULL;
      while(fast && fast->next){
         prev = slow;
         slow = slow->next;
         fast = fast->next->next;
      }
      prev->next = NULL;
      ListNode* l1 = sortList(head);
      ListNode* l2 = sortList(slow);
      return mergeList(l1,l2);
   }
   ListNode* mergeList(ListNode* l1, ListNode* l2){
      ListNode* temp = new ListNode(0);
      ListNode* p =temp;
      while(l1 && l2){
         if(l1->val<=l2->val){
            p->next = l1;
            l1 = l1->next;
         }else{
            p->next = l2;
            l2 = l2->next;
         }
         p = p->next;
      }
      if(l1){
         p->next = l1;
      }
      if(l2){
         p->next = l2;
      }
      return temp->next;
   }
};
main(){
   vector<int> v = {4,2,1,3,5,19,18,6,7};
   ListNode *h1 = make_list(v);
   Solution ob;
   print_list((ob.sortList(h1)));
}

入力

[4,2,1,3,5,19,18,6,7]

出力

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 19]

計算量について

リストを毎回ほぼ半分に分割しながら再帰的に処理するため、時間計算量は O(n log n) になります。また、マージ処理ではノードのポインタをつなぎ変えるだけで新しいノードをほとんど確保しないため、再帰呼び出しのスタックを除けば定数空間で動作します。連結リストのソートが必要な場面では、この手法が最も標準的かつ効率的なアプローチといえます。